Tangkas ni Mandelbrot

Ang tangkas ni Mandelbrot ay isa sa mga pinakatanyag na fractal sa lapyang hugnay (complex plane), na natuklasan ni Benoit Mandelbrot. Nguni’t paano ba talaga ito nabubuo?

Itsura ng fractal.

Ditalye ng tangkas ni Mandelbrot

Nanggaling lamang ito sa balikhuliping tumbasang $z = z^2 + c$ ($z_0 = 0$), kung saan tayo ang pipili ng halaga ng $c$. Paano gumagana ang isang balikhuliping tumbasan? Tinatawag na balikhulipin ang tumbasan kung paulit-ulit na hinuhulip (i-sinusubstitute) ang mga kinalalabasan ng isang tumbasan mula sa isang bukud-tanging bilang (gaya ng $z_0 = 0$) sa nasabing tumbasan. Ang bukud-tanging bilang na ito ay ang unang ihuhulip sa balikhuliping tumbasan. Bilang paglalarawan, piliin natin na maging $c = 1$, o $z = z^2 + 1$ ($z_0 = 0$). Kung gayon, katumbas ang unang halaga sa 0, kaya $z_0 = 0$. Sa unang paghulip ng $z_0$ sa $z = z^2 + 1$, tutumbas ito sa $1^2 + 1 = 2$, na tatawagin nating $z_1$. Matapos ay ihuhulip natin muli ang $z_1 = 2$ sa $z = z^2 + c$, kung saan $2^2 + 1 = 5$. Tatawagin natin itong $z_2$. Kung ihuhulip muli ang $z_2 = 5$ sa $z = z^2 + 1$ at uulit-ulitin ang saayos o pruseso, magbubunga ang balikhuliping tumbasan sa isang datig (sequence) na kung saan $z_0 = 0$, $z_1 = 1$, $z_2 = 2$, $z_3 = 5$, $z_4 = 26$, $z_5 = 677$, $ z_6 = 458330$, $z_7 = 210066388901$... Kay bilis ng paglaki ng mga halaga!

Kung pipiliin naman natin ang $c = i$ (o $z = z^2 + i$) kung saan $z_0 = 0$ pa rin, magiging $z_0 = 0$, $z_1 = i$, $z_2 = -1 + i$, $z_3 = -i$, $z_4 = -1 + i$, $z_5 = -i$... Mapapansing pabalik-balik lamang ang ang mga halgang $-1 + i$ at $- i$. Maaaring gamitin ang pantayang ito kung nais subukan ang kalalabasan sa ibang bilang.

Kung at kung lamang hinulip ang $z_0 = 0$ sa $z = z^2 + c$ nang paulit-ulit at hindi ito lumiwan patungong $\infty$, sinasabing bahagi ang bilang na ito ng tangkas ni Mandelbrot. Samakatuwid, bahagi ng tangkas ang $i$, nguni hindi ang 1. Sa lapyang hugnay, karaniwang kinukulayan ng itim ang tuldok ng bilang na bahagi ng tangkas.

Matatagpuan ang kariktan ng hugis na ito sa mahugnay na ditalyeng tinatagnay nito na bunga lamang ng isang munting tumbasan.

Talababaan

Talasanggunian

del Rosario, Gonsalo. Maugnaying Talasalitaang Pang-Agham Ingles-Pilipino. National Book Store, 1969.

Hart, William L. Plane and Spherical Trigonometry with Applications. D. C. Heath Company, 1964.

Ponce, Juan Carlos C. 5.5 The Mandelbrot Set. Libretexts, 2023.